Lazzati è nato a Milano il 22 giugno 1909 ed è stato battezzato nella chiesa di S. Gottardo al Corso il 25 giugno.
Dei suoi anni giovanili, nella Milano di Porta Ticinese, Lazzati non ha quasi mai parlato.

Nel 1915 inizia le scuole elementari. Nel 1918 si trasferisce ad Alassio con la famiglia, dove frequenta la quarta elementare e la prima ginnasio. Nel 1920 torna a Milano.

In quell'anno, Lazzati ha undici anni, e la madre, lo iscrive, come i fratelli, all'Associazione studentesca «Santo Stanislao», perchè possa completare la propria formazione spirituale.

L'esperienza associativa avrebbe lasciato in Lazzati un segno profondo e permanente sul piano della formazione spirituale, grazie anche all'incontro con un sacerdote che possedeva uno straordinario carisma e una grande capacità educativa: don Ettore Pozzoni, che Lazzati ha avuto come catechista al suo ingresso nell'Associazione.

Importantissimi per Lazzati sono stati gli esercizi annuali che la «Santo Stanislao» richiedeva ai suoi iscritti. Lazzati vi ha partecipato per la prima volta nel 1922, all'età di tredici anni non ancora compiuti.

Il 1926 ha segnato un momento importante della vita di Lazzati: l'8 luglio è morto suo padre, che aveva appena cinquant' anni.
Il diciassettenne Giuseppe si è visto così indotto a impegnarsi per il proprio sostentamento con l'impartire ripetizioni, concorrere con successo ad alcune borse di studio e svolgere l'attività di aiutante-economo della «Santo Stanislao».

Anche per questo il suo legame con l'Associazione è divenuto più stretto ed egli ha acquisito un ruolo più significativo di quello di un socio. Con il 1927, infatti, Lazzati cominciava a pubblicare sul «Bollettino» dell'Associazione articoli e note in cui offriva sintesi ragionate delle conferenze tenute nella «Santo Stanislao».

Che il suo legame e il suo ruolo nell'Associazione sia cresciuto nel tempo è anche suggerito dal fatto che, dopo il giugno 1927, conseguita brillantemente la maturità, anziché confluire in altra associazione come suggeriva lo statuto associativo, Lazzati ha continuato a vivere nella «Santo Stanislao» rimanendo a disposizione dei soci minori.